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各向异性介质Eshelby猜想的证明

2021-10-14

 

近日,vnsc威尼斯城官方网站力学与工程科学系王建祥教授课题组与南方科技大学黄克服教授合作,在Eshelby猜想的研究上取得重要进展。该项研究以“Solutions to the generalized Eshelby conjecture for anisotropic media: Proofs of the weak version and counter-examples to the high-order and the strong versions”为题在线发表于国际固体力学旗舰期刊《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》(https://authors.elsevier.com/a/1dvLo57Zjzi9~)。

1957年,英国学者Eshelby求解了各向同性无限大介质中经受均匀本征应变场的椭球夹杂内部的弹性场,发现椭球内部弹性应变场也是均匀的,均匀本征应变与弹性应变之间可以通过一个四阶张量(现今称为Eshelby张量)相联系,基于此,Eshelby提出了等效本征应变的概念以及等效夹杂方法。 这些被国际力学界公认为优雅的、意义深远的成果开启了固体力学发展的一个新时代,以该解为基础构成的经典Eshelby体系成为自20世纪下半叶至今蓬勃发展的复合材料细观力学的基石,为复合材料力学性质的预测提供了有效途径,极大地推进了复合材料理论的发展和应用。Eshelby于1957年发表的论文至今保持着整个力学领域最高的引用次数,是当代力学领域最重要的奠基性文献之一。

Eshelby在1961年猜测,椭球是唯一一种将均匀本征应变变换为均匀弹性应变的夹杂构型。这一猜测可以严格地划分为对所有均匀本征应变成立的弱猜想,以及对单个均匀本征应变成立的强猜想。Eshelby猜想的解答不仅对复合材料理论的发展有重要意义,也是应用数学领域的一个基础问题。几十年间,国内外许多力学家、数学家投身于Eshelby猜想及相关问题的研究。直到2008年,韩国国立大学数学系的H. Kang(现Inha大学应用数学研究所所长、韩国科学技术学院院士)和美国犹他大学数学系的G. W. Milton教授(美国工程科学协会最高奖William Prager奖获得者),以及当时在加州理工学院工作的Liping Liu(北大力学系校友,现为美国罗格斯大学数学系、机械和航空系教授)分别证明:对于各向同性介质,Eshelby弱猜想成立,Liu还针对某类各向同性四阶张量条件下的强猜想给出了反例; 2009年,北京大学力学系王敏中教授和学生胥柏香(现德国达姆施塔特工业大学教授)、赵颖涛(现北京理工大学副教授),以及德国学者D. Gross完成了二维各向异性介质中Eshelby强猜想的证明;2010年,法国数学研究所的H. Ammari(现为 ETH数学系教授,欧洲科学院院士)和G. W. Milton等部分证明了各向同性介质的强猜想。更具一般性的三维空间中各向异性介质的Eshelby猜想一直悬而未决。

该项研究以本征应变与各向异性弹性张量的笛氏乘积为变量,构造了Eshelby弱猜想和强猜想的数学表示,继而证明了,对于具有非退化立方对称性、横观各向同性、正交各向异性、单斜对称性的四种各向异性介质, Eshelby弱猜想成立;但是,其相应的强猜想存在反例,并且给出了构造非椭球构型反例的充分条件。此外,针对这四种各向异性介质中多项式形式本征应变的情况,证明了,存在非椭球构型的夹杂满足所谓的Eshelby多项式守恒定理,即将多项式本征应变转换为同阶多项式弹性应变。该项研究表明,除了经典的椭球构型的夹杂之外,在以上每一种各向异性介质中,都存在无穷多种非椭球构型的夹杂对特定形式的本征应变具有Eshelby均匀性和多项式守恒性,从而极大地拓展了对Eshelby均匀性和多项式守恒性的认知范畴。各向异性非均质材料普遍存在于自然界和工业领域,各向异性介质Eshelby体系的研究为多相材料中应变调控及性能优化提供了新的维度,对于分析和设计量子点结构的应变场从而调控其能带结构和纠缠光子的性能具有理论引导意义。

固体力学专家魏悦广院士表示:Eshelby猜想是力学领域非常重要的基本问题,其解决具有重要的理论价值。很高兴看到王建祥教授、黄克服教授和学生经过多年的研究,解决了几种具有实际应用背景的各向异性介质的Eshelby猜想问题。

该论文的第一编辑袁天宇同学2015年本科毕业于上海大学力学系,同年进入vnsc威尼斯城官方网站力学与工程科学系攻读博士学位,在王建祥教授和黄克服教授引导下进行Eshelby猜想的研究。论文工作得到国家自然科学基金委员会创新研究群体基金以及重大项目基金的资助。

 

 

 

 

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